Ch6 数理统计的基本概念

描述统计学

对随机现象进行观测、试验，以取得有代表性的观测值.

推断统计学

对已取得的观测值进行整理、分析，作出推断、决策，从而找出所研究的对象的规律性.

flowchart LR
    C[推断统计学]
    C -->M(**参数估计**)
    C -->N(**假设检验**)
    C -->O(方差分析)
    C -->P(回归分析)

Ch6.1 基本概念

总体和个体

• 总体：研究对象全体元素组成的集合
  • 所研究的对象的某个（或某些）数量指标的全体，它是一个随机变量（或多维随机变量），记为 $X$.
• 个体：组成总体的每一个元素
  • 即总体的每个数量指标，可看作随机变量 $X$ 的某个取值，用 $X_i$ 表示.

样本和样本空间

• 样本：从总体中抽取的部分个体
  • 用 $X_1,X_2,\cdots,X_n$ 表示，$n$ 为样本容量.
  • 若依次进行观察得到 $n$ 个数据 $x_1,x_2,\cdots,x_n$，称为总体 $X$ 的一个容量为 $n$ 的样本观测值，或称样本的一个实现，简称样本值.
  • 可以看作是 $n$ 维随机变量 $(X_1,X_2,\cdots,X_n)$ 的一组可能的取值，称 $(X_1,X_2,\cdots,X_n)$ 为总体 $X$ 的一个容量为 $n$ 的样本.
• 样本空间：样本所有可能取值的集合
• 简单随机样本：若总体 $X$ 的样本 $(X_1,X_2,\cdots,X_n)$ 满足以下条件，则称 $(X_1,X_2,\cdots,X_n)$ 为简单随机样本：
  1. $X_1,X_2,\cdots,X_n$ 与 $X$ 有相同的分布
  2. $X_1,X_2,\cdots,X_n$ 相互独立

总体与样本的关系

设总体 $X$ 的分布函数为 $F(x)$，$(X_1,X_2,\cdots,X_n)$ 为总体 $X$ 的简单随机样本，则 $(X_1,X_2,\cdots,X_n)$ 的联合分布函数为

$$ F(x_1,x_2,\cdots,x_n)=\prod\limits_{i=1}^{n}{F(x_i)} $$

若总体 $X$ 的概率密度函数为 $f(x)$，则 $(X_1,X_2,\cdots,X_n)$ 的联合概率密度函数为

$$ f(x_1,x_2,\cdots,x_n)=\prod\limits_{i=1}^{n}{f(x_i)} $$

统计量和常用统计量