数学期望简称期望，又称均值.
设离散型随机变量 $X$ 的分布律为 $P(X=x_k)=p_k,\ k=1,2,\cdots$
若无穷级数 $\sum\limits_{k=1}^{\infty}x_kp_k$ 绝对收敛，即 $\sum\limits_{k=1}^{\infty}|x_kp_k|<+\infty$，则称 $\sum\limits_{k=1}^{\infty}x_kp_k$ 为 $X$ 的数学期望.
$$ E(X)=\sum\limits_{k=1}^{\infty}x_kp_k $$
Note: 要求 $\sum\limits_{k=1}^{\infty}x_kp_k$ 绝对收敛是为了保证 $E(X)$ 由 $X$ 的分布唯一确定，而不会受到无穷级数求和次序的影响，若级数不绝对收敛，则称 $X$ 的数学期望不存在。连续型随机变量也类似。
设连续型随机变量 $X$ 的概率密度为 $f(x)$.
若积分 $\int_{-\infty}^{+\infty}xf(x)\ \mathrm dx$ 绝对收敛，$\int_{-\infty}^{+\infty}|xf(x)|\ \mathrm dx<+\infty$，则称此积分的值为 $X$ 的数学期望.
$$ E(X)=\int_{-\infty}^{+\infty}xf(x)\mathrm dx $$
| 名称 | 分布 | 期望 | 方差 | 直观理解 |
|---|---|---|---|---|
| 伯努利分布 | 0-1 分布 | $p$ | ||
| 二项分布 | $B(n,p)$ | $np$ | ||
| 泊松分布 | $P(\lambda)$ | $\lambda$ | $\lambda$ | $\lambda$ 即“单位时间内随机事件发生的平均次数” |
| 几何分布 | $G(p)$ | $\frac 1 p$ | $\frac{1-p}{p^2}$ | 每次成功概率为 $p$，则平均 $\frac 1 p$ 次成功一次 |
| 均匀分布 | $U(a,b)$ | $\frac{a+b}{2}$ | $\frac{(b-a)^2}{12}$ | |
| 指数分布 | $E(\lambda)$ | $\frac 1 \lambda$ | $\frac{1}{\lambda^2}$ | $\lambda$ 即“单位时间内事件平均发生率”。期望描述等待第一个事件发生所需的平均时间。 |
| 正态分布 | $N(\mu,\sigma^2)$ | $\mu$ |
Theorem: 设 $X$ 为随机变量，$Y=g(X)$，其中 $g(X)$ 是一个确定的函数：
设 $X$ 为离散型随机变量，$P(X=x_k)=p_k,\ k=1,2,3,\cdots$，若 $\sum\limits_{k=1}^{\infty}g(x_k)p_k$ 绝对收敛，则
$$ E(Y)=E(g(X))=\sum_{k=1}^\infty g(x_k)p_k $$
设 $X$ 为连续型随机变量，概率密度为 $f(x)$，若 $\int_{-\infty}^{+\infty}g(x)f(x)\ \mathrm dx$ 绝对收敛，则
$$ E(Y)=E(g(X))=\int_{-\infty}^{+\infty}g(x)f(x)\ \mathrm dx $$
Theorem: 设 $(X,Y)$ 为二维随机变量，$Z=g(X,Y)$，其中 $g(X,Y)$ 是一个确定的函数：
设 $(X,Y)$ 为离散型随机变量，$P(X=x_i,Y=y_j)=p_{ij},\ i,j=1,2,3,\cdots$，若 $\sum\limits_{i=1}^{\infty}\sum\limits_{j=1}^{\infty}g(x_i,y_j)p_{ij}$ 绝对收敛，则
$$ E(Z)=E(g(X,Y))=\sum\limits_{i=1}^{\infty}\sum\limits_{j=1}^{\infty}g(x_i,y_j)p_{ij} $$
设 $(X,Y)$ 为连续型随机变量，联合概率密度为 $f(x,y)$，若 $\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}g(x,y)f(x,y)\ \mathrm dx\mathrm dy$ 绝对收敛，则
$$ E(Z)=E(g(X,Y))=\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}g(x,y)f(x,y)\ \mathrm dx\mathrm dy $$