Ch3 多元随机变量及其分布

T34 T36

Ch3.1 二元随机变量及其分布

二维随机变量及其分布函数

设 $\Omega$ 是随机试验的样本空间

二维随机变量（二维随机向量）$(X,Y)$：$\forall\ \omega\in\Omega \longrightarrow \exist\ (X(\omega),Y(\omega))\in \mathbb R^2$

• 二维随机变量作为一个整体的概率特性
• 每一个随机变量的概率特性，及其与整体的概率特性之间的关系

二维随机变量联合分布函数

二维随机变量 $(X,Y)$ 的联合分布函数：$F(x,y)=P\left(\left(X\leq x)\cap(Y\leq y\right)\right)$

（$\forall\ (x,y)\in \mathbb R^2$），$F(x,y)$ 是定义在实平面上的二元函数。

分布函数的几何意义

如果用平面上的点 $(x,y)$ 表示二维随机变量 $(X,Y)$ 的一组可能的取值，$F(x,y)$ 表示 $(X,Y)$ 的取值落入如图所示角形区域的概率。

联合分布函数的性质

• $0\le F(x,y)\le1$
• $F(-\infty,y)=F(x,-\infty)=F(-\infty,-\infty)=0$
• $F(+\infty,+\infty)=1$
• $F(x,y)$ 分别关于 $x$ 或 $y$ 单调不减
• $F(x,y)$ 分别关于 $x$ 或 $y$ 右连续
• $\small{\forall\ x_1<x_2,y_1<y_2,F(x_2,y_2)-F(x_2,y_1)+F(x_1,y_1)-F(x_1,y_2)\ge 0}$
  • 事实上有 $F(x_2,y_2)-F(x_2,y_1)+F(x_1,y_1)-F(x_1,y_2)=P(x_1\le X\le x_2,y_1\le Y\le y_2)\ge0$