Ch2 随机变量及其分布

Ch2.1 随机变量及其分布函数

随机变量的定义

随机变量：设 $\Omega$ 是随机试验 $E$ 的样本空间，$\forall \omega\in\Omega$，按一定法则，$\exist X(\omega)\in \mathbb R$ 与之对应，那么 $\Omega$ 上的单值实值函数 $X(\omega)$ 即随机变量.

Note: 随机变量一般用大写字母（带下标也可） $X,Y,Z,X_1,Y_2,\cdots$ 来表示.

Note: 随机变量是 $\Omega \to \mathbb R$ 上的一个映射：

• 定义域：$\Omega$
• 随机性：随机变量的可能取值不止一个, 试验前只能 预知它可能的取值，但不能预知取哪个值
• 概率特性：随机变量以一定的概率取某个值或某些值

Note: 随机事件可用随机变量的等式或不等式表达. e.g. 若 $X$ 表示某超市在 10:00 - 11:00 使用电子支付的人数： $\{X>20\}$ 表示“该超市 10:00 - 11:00 使用电子支付的人数超过 20 人”

Note: 在同一个样本空间可以同时定义多个随机变量； 各随机变量之间可能有一定的关系，也可能没有关系.

• 随机变量的分类
  • 离散型
  • 非离散型
    • 其中一种重要的类型为连续型随机变量
• 引入随机变量的重要意义
  • 任何随机现象可被随机变量描述，引入随机变量是量化地刻画、描述、研究随机现象的统计规律的基础.
  • 借助微积分方法进一步讨论.

随机变量的分布函数

随机变量 $X$ 的分布函数：$F(x)=P(X\le x)$，$-\infty<x<+\infty$. 也可表示为 $F_X(x)$.

• 分布函数的性质
  • $0\le F(x)\le 1,\ \lim\limits_{x\to +\infty}F(x)=1,\ \lim\limits_{x\to -\infty}F(x)=0$ （亦可作 $F(+\infty)=1,\ F(-\infty)=0$）
  • $F(x)$ 单调不减
  • $F(x)$ 右连续，即 $\lim\limits_{t\to x+0}F(t)=F(x)$（或者 $F(x+0)=F(x)$）
• 分布函数在概率计算中的用途
  • $\begin{aligned} P(a < X \leq b) &= P(X \leq b) - P(X \leq a) \\ &= F(b) - F(a) \end{aligned}$
  • $P(X>a)=1-P(X\leq a)=1-F(a)$
  • $\begin{aligned}P(X=x_{0})&=\lim_{\Delta x\to0^{+}}P(x_{0}-\Delta x<X\leq x_{0})\\&=\lim_{\Delta x\to0^+}\left(F(x_0)-F(x_0-\Delta x)\right)=F(x_0)-F(x_0-0)\end{aligned}$

Note:

1. $F(x)$ 是分段阶梯函数, 在 $X$ 的可能取值 $x_k$ 处发生间断.
2. 对离散型随机变量用概率分布（或分布律）比用分布函数计算概率更方便， 所以描述离散性随机变量通常用概率分布（或分布律）.

Ch2.2 离散型随机变量及其概率分布

离散型随机变量概率分布的一般概念

离散型随机变量：随机变量的可能取值是有限多个或无穷可列多个

描述离散型随机变量的概率特性常用它的概率分布或分布律（分布列）：

$$ P(X=x_k)=p_k,\ k=1,2,\cdots $$